Calcular Área de un Triángulo
El área de un triángulo es la base por la altura, dividida entre 2: A = (b × h) ÷ 2. Un triángulo de 8 cm de base y 5 cm de altura mide 20 cm². Sin la altura, se calcula con los tres lados (fórmula de Herón) o con dos lados y el ángulo que forman.
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Qué datos necesita la calculadora
Elige en la lista los datos que tienes y escribe las medidas: el resultado aparece mientras escribes. Hay cinco opciones:
- Base y altura. La más común. En un triángulo rectángulo, la base y la altura son los dos catetos.
- Los tres lados. Para cualquier triángulo del que no sepas la altura. Usa la fórmula de Herón.
- Dos lados y el ángulo entre ellos. El ángulo tiene que ser el que forman esos dos lados, en grados.
- Equilátero. Basta con un lado, porque los tres miden lo mismo.
- Isósceles. La base y uno de los dos lados iguales.
Todas las medidas deben estar en la misma unidad, que eliges en la segunda lista. El resultado sale en esa unidad al cuadrado, con su equivalencia en metros cuadrados, o en centímetros cuadrados si ya trabajas en metros. Según los datos, también verás el perímetro, la altura, los tres ángulos y el tipo de triángulo, además de la operación completa para que puedas comprobarla.
Copiar guarda el resultado con sus datos y Enlace copia la dirección de la página con el cálculo ya hecho. Las medidas no salen de tu navegador.
La fórmula: base por altura entre 2
A = (b × h) ÷ 2
Con una base de 8 cm y una altura de 5 cm:
- 8 × 5 = 40
- 40 ÷ 2 = 20
- Resultado: 20 cm²
La división entre 2 tiene una explicación sencilla. Si copias un triángulo, lo giras media vuelta y lo unes al original por uno de sus lados, formas un paralelogramo con la misma base y la misma altura. El área de ese paralelogramo es base por altura, y cada triángulo ocupa exactamente la mitad.
Qué es exactamente la altura
La altura es la distancia perpendicular desde un vértice hasta el lado opuesto, o hasta su prolongación. No es la longitud de un lado inclinado.
Cualquier lado puede hacer de base. Lo que cambia es la altura: cada lado tiene la suya, trazada desde el vértice de enfrente. El área sale igual elijas el lado que elijas, siempre que uses la altura que le corresponde.
En un triángulo con un ángulo mayor de 90°, la altura sobre uno de los lados cortos cae fuera del triángulo. Hay que prolongar la base con una línea recta y medir la perpendicular hasta esa prolongación. Es el caso en que más se equivoca la gente al medir.
Área de un triángulo rectángulo
Tiene un ángulo de 90°, y los dos lados que lo forman, los catetos, son perpendiculares entre sí. Por eso uno hace de base y el otro de altura, sin medir nada más.
A = (cateto 1 × cateto 2) ÷ 2
Con catetos de 3 y 4 cm: (3 × 4) ÷ 2 = 6 cm². El lado más largo, la hipotenusa, no entra en la fórmula del área.
Área de un triángulo equilátero
Los tres lados miden lo mismo y los tres ángulos, 60°. Basta con conocer un lado.
A = (√3 ÷ 4) × lado²
Con un lado de 6 cm:
- 6² = 36
- √3 ÷ 4 = 0.4330
- 0.4330 × 36 = 15.59 cm²
La altura de un equilátero es el lado multiplicado por √3 ÷ 2, es decir, por 0.8660. Con un lado de 6 cm son 5.20 cm, y base por altura entre 2 da el mismo resultado: 6 × 5.1962 ÷ 2 = 15.59 cm².
Área de un triángulo isósceles
Tiene dos lados iguales y uno distinto, que suele tomarse como base. La altura sobre esa base cae justo en su punto medio, así que forma dos triángulos rectángulos y se calcula con el teorema de Pitágoras.
Altura = √(lado² − (base ÷ 2)²)
Con una base de 6 cm y lados iguales de 5 cm:
- Media base: 6 ÷ 2 = 3
- Altura: √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4 cm
- Área: (6 × 4) ÷ 2 = 12 cm²
Área de un triángulo escaleno: la fórmula de Herón
Un triángulo escaleno tiene los tres lados distintos. Si conoces los tres lados pero no la altura, la fórmula de Herón resuelve el área sin medir nada más. Sirve para cualquier triángulo, también para el isósceles o el rectángulo.
Paso 1, el semiperímetro: s = (a + b + c) ÷ 2
Paso 2, el área: A = √(s × (s − a) × (s − b) × (s − c))
Con lados de 7, 8 y 9 cm:
- s = (7 + 8 + 9) ÷ 2 = 12
- 12 − 7 = 5; 12 − 8 = 4; 12 − 9 = 3
- A = √(12 × 5 × 4 × 3) = √720 = 26.83 cm²
La fórmula lleva el nombre de Herón de Alejandría, que la demostró en su obra Métrica. Siglos después, el sabio al-Biruni atribuyó el descubrimiento a Arquímedes, anterior a Herón.
Si al calcular te sale la raíz de un número negativo, o de cero, las tres medidas no forman un triángulo: cada lado tiene que ser más corto que la suma de los otros dos. Con 1, 2 y 3 cm, por ejemplo, los lados cortos quedan tendidos sobre el largo y no encierran ninguna superficie.
Con dos lados y el ángulo entre ellos
Si conoces dos lados y el ángulo que forman, no hace falta la altura.
A = (a × b × sen C) ÷ 2
Con lados de 5 y 7 cm que forman un ángulo de 60°:
- sen 60° = 0.8660
- 5 × 7 × 0.8660 = 30.3109
- 30.3109 ÷ 2 = 15.16 cm²
Si usas una calculadora científica, comprueba que está en grados (DEG) y no en radianes (RAD). Es el error más habitual con esta fórmula: en radianes, sen 60 da −0.3048, un número negativo que no tiene sentido como parte de un área.
Área y perímetro de un triángulo
El perímetro es la suma de los tres lados, y se mide en unidades lineales: centímetros, metros. El área es la superficie que encierran, y se mide en unidades al cuadrado: cm², m².
Con lados de 3, 4 y 5 cm, el perímetro es 3 + 4 + 5 = 12 cm y el área es 6 cm². Son dos medidas distintas del mismo triángulo, y no se pueden sumar ni comparar entre sí.
Unidades: por qué el resultado va al cuadrado
Al multiplicar una longitud por otra, las unidades también se multiplican: centímetros por centímetros dan centímetros cuadrados. Por eso una base de 8 m y una altura de 5 m dan 20 m², no 20 m.
Antes de multiplicar, pon las dos medidas en la misma unidad. Con una base de 2 m y una altura de 50 cm, pasa los metros a centímetros: (200 × 50) ÷ 2 = 5,000 cm², que son 0.5 m².
Para pasar un área de una unidad a otra, el factor también va al cuadrado. Un metro son 100 centímetros, pero un metro cuadrado son 100 × 100 = 10,000 centímetros cuadrados.
| Área | Equivale a |
|---|---|
| 1 m² | 10,000 cm² |
| 1 cm² | 100 mm² |
| 1 km² | 1,000,000 m² |
| 1 m² | 10.7639 pies² |
Ejercicios resueltos
| Datos | Operación | Área |
|---|---|---|
| Base 12 m, altura 7 m | (12 × 7) ÷ 2 | 42 m² |
| Rectángulo, catetos 6 y 8 cm | (6 × 8) ÷ 2 | 24 cm² |
| Lados 13, 14 y 15 cm | s = 21; √(21 × 8 × 7 × 6) | 84 cm² |
| Equilátero de lado 10 cm | (√3 ÷ 4) × 100 | 43.30 cm² |
| Isósceles, base 10 y lados 13 cm | altura √(169 − 25) = 12; (10 × 12) ÷ 2 | 60 cm² |
| Lados 8 y 10 cm con 30° | (8 × 10 × 0.5) ÷ 2 | 20 cm² |
El triángulo de lados 13, 14 y 15 es un ejemplo clásico porque todas sus cifras salen enteras: semiperímetro 21 y área 84.
Errores frecuentes
Usar un lado inclinado como altura. La altura siempre es perpendicular a la base. Solo coincide con un lado en el triángulo rectángulo.
Olvidar dividir entre 2. Base por altura, sin más, da el área del rectángulo que contiene al triángulo: el doble de lo que buscas.
Mezclar unidades. Multiplicar metros por centímetros da una cifra sin sentido. Convierte primero.
Calcular el seno en radianes. Si el resultado sale negativo o absurdo, revisa el modo de la calculadora.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un triángulo?
La fórmula general es base por altura dividida entre 2: A = (b × h) ÷ 2. Si no tienes la altura, puedes usar la fórmula de Herón con los tres lados, o la fórmula con dos lados y el ángulo que forman: A = (a × b × sen C) ÷ 2. Las tres dan el mismo resultado para el mismo triángulo.
¿Cómo se calcula el área de un triángulo con 3 lados diferentes?
Con la fórmula de Herón. Primero suma los tres lados y divide entre 2 para obtener el semiperímetro s. Después multiplica s por (s − a), (s − b) y (s − c), y saca la raíz cuadrada. Con lados de 7, 8 y 9 cm, s = 12 y el área es √720 = 26.83 cm².
¿Cómo saco el área si solo tengo 2 lados?
Depende del triángulo. Si es rectángulo y los dos lados son los catetos, multiplícalos y divide entre 2. Si es isósceles, con la base y un lado igual calculas la altura por Pitágoras. En cualquier otro caso, dos lados no bastan: necesitas también el ángulo que forman o el tercer lado.
¿Cómo se calcula el área de un triángulo rectángulo?
Multiplica los dos catetos, que son los lados que forman el ángulo recto, y divide entre 2. Con catetos de 6 y 8 cm, el área es (6 × 8) ÷ 2 = 24 cm². La hipotenusa no hace falta, porque los catetos ya son perpendiculares entre sí y hacen de base y altura.
¿Cómo se calcula el área de un triángulo equilátero?
Multiplica el lado al cuadrado por √3 ÷ 4, que vale aproximadamente 0.4330. Con un lado de 10 cm, el área es 0.4330 × 100 = 43.30 cm². También puedes calcular primero la altura, que es el lado por 0.8660, y aplicar base por altura entre 2.
¿Por qué el área de un triángulo se divide entre 2?
Porque dos triángulos iguales, unidos por un lado, forman un paralelogramo con la misma base y la misma altura. El área del paralelogramo es base por altura, así que cada triángulo es exactamente la mitad. En el rectángulo se ve con más claridad: su diagonal lo parte en dos triángulos idénticos.
¿Cómo paso el área de un triángulo a metros cuadrados?
Si las medidas están en centímetros, calcula el área en cm² y divide entre 10,000, porque un metro cuadrado son 100 × 100 centímetros cuadrados. Un triángulo de 20 cm² tiene 0.002 m². Si prefieres, pasa antes cada medida a metros y el resultado saldrá directamente en m².
Fuentes
- Triangle Area — Wolfram MathWorld. Fórmulas del área de un triángulo: con dos lados y el ángulo, con los tres lados y con coordenadas.
- Heron's Formula — Wolfram MathWorld. La fórmula de Herón, su origen en la Métrica de Herón de Alejandría y la atribución a Arquímedes por al-Biruni.