Calculadora de Ecuación Cuadrática
x² − 5x + 6 = 0 tiene soluciones x = 2 y x = 3. Para resolver una ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0, calcula el discriminante D = b² − 4ac y aplica x = (−b ± √D) / 2a, o factorízala e iguala cada factor a cero. La calculadora muestra cada paso.
Contenido
Qué es una ecuación cuadrática
Una ecuación cuadrática es una ecuación de segundo grado con la forma ax² + bx + c = 0, donde a, b y c son números conocidos y a no puede ser cero (si a = 0, la x² desaparece y queda una ecuación lineal). El término cuadrático x² es x elevado a la potencia 2. Resolverla es hallar los valores de x que hacen cierta la igualdad; esos valores se llaman raíces o soluciones, y como máximo hay dos.
El discriminante decide cuántas soluciones hay
Antes de resolver, el discriminante D = b² − 4ac te dice cuántas soluciones esperar, sin hacer más cuentas.
| Discriminante | Soluciones | Ejemplo |
|---|---|---|
| D > 0 | Dos soluciones reales distintas | 2x² − 4x − 6 = 0: D = 64, x = 3 y x = −1 |
| D = 0 | Una solución real doble | x² + 2x + 1 = 0: D = 0, x = −1 (doble) |
| D < 0 | Sin soluciones reales | x² + x + 1 = 0: D = −3 |
Método 1: la fórmula general, paso a paso
La fórmula general resuelve cualquier ecuación cuadrática: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Aplícala a 2x² − 4x − 6 = 0.
- Identifica a, b y c: a = 2, b = −4, c = −6.
- Calcula el discriminante: D = (−4)² − 4·2·(−6) = 16 − (−48) = 16 + 48 = 64.
- Sustituye en la fórmula: x = (−(−4) ± √64) / (2·2) = (4 ± 8) / 4.
- Las dos soluciones: x₁ = (4 + 8) / 4 = 12 / 4 = 3; x₂ = (4 − 8) / 4 = −4 / 4 = −1.
Comprueba la primera: 2·3² − 4·3 − 6 = 18 − 12 − 6 = 0. La calculadora de arriba hace exactamente estos cuatro pasos y muestra la comprobación.
Método 2: factorización, paso a paso
Si la ecuación se puede escribir como un producto de dos factores igualado a cero, cada factor da una solución. Toma x² − 5x + 6 = 0 y busca dos números que multiplicados den 6 (el término c) y sumados den −5 (el coeficiente b).
- Los números son −2 y −3: (−2)·(−3) = 6 y (−2) + (−3) = −5.
- La ecuación factorizada es (x − 2)(x − 3) = 0.
- Iguala cada factor a cero: x − 2 = 0 → x = 2; x − 3 = 0 → x = 3.
Verifica: 2² − 5·2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0, y 3² − 5·3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0. Cuando el coeficiente a no es 1 también funciona: 2x² + 5x − 3 = (2x − 1)(x + 3), de donde x = 1/2 y x = −3. El modo "Factorización" de la calculadora encuentra estos factores solo.
Atajos para las incompletas
Cuando falta un término, la fórmula general es un cañón para una mosca; hay atajos.
- Sin término bx (ax² + c = 0): despeja x² y saca raíz: x² − 9 = 0 → x² = 9 → x = ±3.
- Sin término c (ax² + bx = 0): saca factor común x: 2x² + 10x = 0 → x(2x + 10) = 0 → x = 0 o x = −5.
Errores que más puntos cuestan
- El signo de −b. Si b = −4, entonces −b = 4, no −4. En 2x² − 4x − 6 = 0 la fórmula empieza con (4 ± …), no con (−4 ± …).
- Dividir solo entre 2. El denominador es 2a completo: con a = 2 se divide entre 4. (4 + 8) / 4 = 3, pero (4 + 8) / 2 = 6, que no es solución.
- Sacar raíz de un discriminante negativo. Si D < 0 no hay soluciones reales; la raíz cuadrada de un negativo no es un número real.
- Usar la fórmula con a = 0. Sin término cuadrático no hay ecuación cuadrática: 2x + 4 = 0 se despeja directo, x = −2.
Para seguir practicando álgebra
- La calculadora de potencias resuelve x² y cualquier exponente, útil para comprobar el término cuadrático a mano.
- El teorema de Pitágoras también plantea ecuaciones cuadráticas: despejar un cateto es resolver x² = c² − b².
Preguntas frecuentes
¿Cómo sé cuántas soluciones tiene sin resolverla?
Calcula el discriminante D = b² − 4ac. En x² − 5x + 6 = 0: D = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1. Como D > 0, hay dos soluciones reales distintas (x = 2 y x = 3). Si D = 0 hay una solución doble, y si D < 0 no hay soluciones reales. Es el primer paso de la fórmula general.
¿Qué hago si el discriminante es negativo?
Nada más en los números reales: la ecuación no tiene solución. En x² + x + 1 = 0, D = 1² − 4·1·1 = 1 − 4 = −3, y √(−3) no es un número real. La parábola correspondiente no toca el eje x. La calculadora lo indica como "Sin soluciones reales" en vez de inventar un número.
¿Cuándo conviene factorizar en vez de usar la fórmula?
Cuando los coeficientes son enteros "amables" y los factores saltan a la vista, como x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Es más rápido que la fórmula y deja ver la estructura. Si los números no colaboran, como en 2x² − 4x − 6 = 0, la fórmula general siempre funciona: D = 64, x = (4 ± 8) / 4, soluciones 3 y −1.
¿Cómo resuelvo x² − 9 = 0?
Es una incompleta sin término bx: despeja x² = 9 y saca la raíz cuadrada de ambos lados, x = ±3. No olvides el ±: tanto 3² = 9 como (−3)² = 9, así que hay dos soluciones. También se puede factorizar como (x − 3)(x + 3) = 0, que da las mismas dos raíces.
¿Por qué se divide entre 2a y no solo entre 2?
Porque la fórmula x = (−b ± √D) / 2a normaliza por el coeficiente cuadrático completo. En 2x² − 4x − 6 = 0, a = 2, así que el denominador es 4: x = (4 ± 8) / 4 da 3 y −1. Si dividieras solo entre 2 obtendrías 6 y −2, y al sustituir verías que no cumplen la ecuación.
¿Qué pasa si a = 0?
Deja de ser cuadrática: el término x² desaparece y queda una ecuación lineal bx + c = 0, que se despeja en un paso. Por ejemplo, 0x² + 2x + 4 = 0 es en realidad 2x + 4 = 0, con solución x = −2. La calculadora rechaza a = 0 con ese aviso.
Fuentes
- Quadratic Equation — Wolfram MathWorld. Forma general, fórmula cuadrática, discriminante y naturaleza de las raíces.
Revisado el 28 de octubre de 2026Así revisamos cada calculadora