Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras dice que, en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a² + b² = c². Si los catetos miden 3 y 4 cm, la hipotenusa mide 5 cm: 3² + 4² = 9 + 16 = 25, y √25 = 5.
Contenido
Qué dice el teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, si dibujas un cuadrado sobre cada lado, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los dos catetos. Así lo presentan también los materiales de la Nueva Escuela Mexicana de la SEP.
Con el triángulo de lados 3, 4 y 5: el cuadrado sobre el cateto de 3 tiene 9 unidades de área, el del cateto de 4 tiene 16, y el de la hipotenusa, 25. Nueve más dieciséis son veinticinco.
El teorema solo vale para triángulos rectángulos, los que tienen un ángulo de 90°. En cualquier otro triángulo la igualdad no se cumple.
Las partes del triángulo rectángulo
- Catetos (a y b): los dos lados que forman el ángulo recto.
- Hipotenusa (c): el lado de enfrente del ángulo recto. Es siempre el lado más largo.
Reconocer la hipotenusa es el primer paso de cualquier ejercicio: es el lado que no toca el ángulo recto.
Las tres fórmulas del teorema
De a² + b² = c² salen tres fórmulas, según el lado que te falte:
| Buscas | Fórmula |
|---|---|
| La hipotenusa | c = √(a² + b²) |
| El cateto a | a = √(c² − b²) |
| El cateto b | b = √(c² − a²) |
Para la hipotenusa se suman los cuadrados; para un cateto se resta el cuadrado del cateto conocido al cuadrado de la hipotenusa. Si al restar te sale un número negativo, pusiste los datos al revés: la hipotenusa siempre es la mayor.
Cómo usar la calculadora
Elige qué quieres obtener:
- La hipotenusa, escribiendo los dos catetos.
- Un cateto, escribiendo la hipotenusa y el otro cateto.
- Si un triángulo es rectángulo, escribiendo sus tres lados en cualquier orden.
El resultado aparece mientras escribes, con la operación completa. Si los datos son números enteros y el resultado no es exacto, verás también el valor como raíz, por ejemplo √13 o 5√2, que es como se pide en muchos ejercicios. Junto con el lado obtienes el área, el perímetro, los dos ángulos agudos y la altura sobre la hipotenusa.
Copiar guarda el resultado con sus datos y Enlace copia la dirección de la página con el cálculo ya hecho.
Ejemplo: calcular la hipotenusa
Un triángulo rectángulo con catetos de 2 y 3 cm:
- Eleva al cuadrado cada cateto: 2² = 4 y 3² = 9
- Súmalos: 4 + 9 = 13
- Saca la raíz cuadrada: √13 = 3.6056 cm
El resultado exacto es √13, porque 13 no es un cuadrado perfecto. Con decimales, 3.61 cm.
Ejemplo: calcular un cateto
La hipotenusa mide 10 cm y un cateto, 6 cm:
- Eleva al cuadrado los dos datos: 10² = 100 y 6² = 36
- Resta el cateto a la hipotenusa: 100 − 36 = 64
- Saca la raíz cuadrada: √64 = 8 cm
El cateto que falta mide 8 cm.
Cómo saber si un triángulo es rectángulo
El teorema funciona también al revés: si los lados de un triángulo cumplen a² + b² = c², el triángulo es rectángulo. Euclides ya demostró este recíproco en sus Elementos.
Toma los dos lados menores, eleva cada uno al cuadrado y súmalos. Compara con el cuadrado del lado mayor:
- Iguales: el triángulo es rectángulo.
- La suma es mayor: el triángulo es acutángulo, con los tres ángulos menores de 90°.
- La suma es menor: el triángulo es obtusángulo, con un ángulo mayor de 90°.
Con lados de 6, 7 y 9: 6² + 7² = 36 + 49 = 85, y 9² = 81. La suma es mayor, así que el triángulo es acutángulo y no rectángulo.
Esto tiene una aplicación práctica en obra: para comprobar que una esquina está a escuadra, mide 3 m sobre un muro y 4 m sobre el otro. Si la distancia entre esas dos marcas es de 5 m exactos, el ángulo es recto.
Ternas pitagóricas
Son tríos de números enteros que cumplen el teorema. Las más conocidas:
| Catetos | Hipotenusa | Comprobación |
|---|---|---|
| 3 y 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 y 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8 y 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7 y 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
Cualquier múltiplo de una terna también lo es: 6, 8 y 10 es el doble de 3, 4 y 5, y 9, 12 y 15 es el triple.
Para qué sirve en la vida diaria
Sirve para calcular cualquier distancia que forme la diagonal de un ángulo recto, cuando es más fácil medir los otros dos lados.
Una escalera contra la pared. Una escalera de 5 m apoyada con el pie a 1.5 m de la pared llega a √(5² − 1.5²) = √22.75 = 4.77 m de altura.
Una pantalla. Una pantalla de 55 pulgadas de diagonal con proporción 16:9 mide 47.94 pulgadas de ancho y 26.96 de alto, es decir, 121.76 por 68.49 cm. El cálculo reparte la diagonal entre el ancho y el alto con el teorema: 16² + 9² = 337, y 55 × 16 ÷ √337 = 47.94.
La distancia entre dos puntos. En un plano, del punto (1, 2) al punto (4, 6) hay 3 unidades en horizontal y 4 en vertical, así que la distancia en línea recta es √(9 + 16) = 5.
Dos demostraciones que puedes seguir
Con cuadrados. Dibuja un cuadrado de lado a + b y coloca dentro cuatro copias del triángulo, una en cada esquina. En el centro queda un cuadrado inclinado de lado c. El área del cuadrado grande se puede contar de dos formas: (a + b)², o cuatro triángulos más el cuadrado del centro, 4 × (a × b ÷ 2) + c². Igualando: a² + 2ab + b² = 2ab + c², y al quitar 2ab de los dos lados queda a² + b² = c².
Con un trapecio. En 1876, James Garfield, que años después sería presidente de Estados Unidos, encontró una demostración con un trapecio de bases a y b y altura a + b, formado por dos copias del triángulo y un triángulo isósceles de catetos c. El área del trapecio es (a + b)² ÷ 2, y la suma de los tres triángulos es ab ÷ 2 + ab ÷ 2 + c² ÷ 2. Igualando y simplificando se llega otra vez a a² + b² = c².
Un poco de historia
El teorema lleva el nombre de Pitágoras, que vivió aproximadamente entre el 560 y el 480 a. C., pero la relación era conocida mucho antes: aparece en una tablilla babilónica de entre 1900 y 1600 a. C. No se sabe con certeza si el primero en demostrarla fue el propio Pitágoras o alguien de su escuela.
La demostración de referencia durante siglos fue la de Euclides en sus Elementos, hacia el 300 a. C.: la proposición 47 del libro primero. Desde entonces se han reunido cientos de demostraciones distintas; el matemático Elisha Scott Loomis recopiló 367 en su libro The Pythagorean Proposition.
Ejercicios resueltos
| Enunciado | Operación | Resultado |
|---|---|---|
| Catetos de 8 y 15 cm | √(64 + 225) = √289 | 17 cm |
| Hipotenusa de 25 m, un cateto de 7 m | √(625 − 49) = √576 | 24 m |
| Catetos de 1 y 1 | √(1 + 1) | √2 = 1.4142 |
| Hipotenusa de 10, un cateto de 5 | √(100 − 25) = √75 | 5√3 = 8.6603 |
| ¿Es rectángulo un triángulo de 9, 12 y 15? | 81 + 144 = 225 = 15² | Sí |
| Escalera de 3 m con el pie a 1 m de la pared | √(9 − 1) = √8 | 2√2 = 2.83 m de altura |
Errores frecuentes
Sumar los lados sin elevarlos al cuadrado. 3 + 4 no es 5; es 3² + 4² lo que da 5².
Olvidar la raíz cuadrada. 3² + 4² = 25 es el cuadrado de la hipotenusa. La hipotenusa es √25 = 5.
Sumar cuando toca restar. Para un cateto, se resta: c² − a². Si sumas, obtienes un lado mayor que la hipotenusa, lo cual es imposible.
Tomar como hipotenusa un lado que no lo es. La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y siempre el más largo.
Aplicarlo a un triángulo que no es rectángulo. Sin ángulo de 90°, el teorema no se cumple. Para esos triángulos se usa la ley de los cosenos, la misma que da los ángulos de un triángulo a partir de sus lados.
Preguntas frecuentes
¿Qué dice el teorema de Pitágoras?
Dice que en todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa: a² + b² = c². Visto con áreas, el cuadrado construido sobre la hipotenusa ocupa lo mismo que los dos cuadrados construidos sobre los catetos juntos. Solo vale para triángulos con un ángulo recto.
¿Cuáles son las 3 fórmulas del teorema de Pitágoras?
Para la hipotenusa, c = √(a² + b²). Para un cateto, a = √(c² − b²) o b = √(c² − a²). Las tres salen de la misma igualdad, a² + b² = c², despejando el lado que falta. Para la hipotenusa se suman los cuadrados y para un cateto se restan.
¿Cuánto mide la hipotenusa si los catetos miden 3 y 4?
La hipotenusa mide 5. Los cuadrados de los catetos son 9 y 16, que suman 25, y la raíz cuadrada de 25 es 5. Los números 3, 4 y 5 forman la terna pitagórica más conocida, y cualquier múltiplo, como 6, 8 y 10, también cumple el teorema.
¿Cómo se calcula un cateto con el teorema de Pitágoras?
Eleva al cuadrado la hipotenusa y el cateto conocido, resta el segundo del primero y saca la raíz cuadrada del resultado. Con una hipotenusa de 10 y un cateto de 6: 100 − 36 = 64, y √64 = 8. Si la resta sale negativa, los datos están invertidos.
¿Para qué sirve el teorema de Pitágoras?
Sirve para calcular una distancia en diagonal cuando conoces los dos lados que forman un ángulo recto: la altura que alcanza una escalera, la diagonal de un terreno o una pantalla, o la distancia entre dos puntos de un plano. También permite comprobar si una esquina está a escuadra con la medida 3, 4 y 5.
¿El teorema de Pitágoras sirve para cualquier triángulo?
No. Solo se cumple en triángulos rectángulos. Si un triángulo no tiene un ángulo de 90°, el cuadrado del lado mayor no coincide con la suma de los otros dos cuadrados: es menor si el triángulo es acutángulo y mayor si es obtusángulo. Para esos casos se usa la ley de los cosenos.
¿Quién descubrió el teorema de Pitágoras?
Lleva el nombre de Pitágoras, que vivió aproximadamente entre el 560 y el 480 a. C., pero la relación aparece antes en una tablilla babilónica de entre 1900 y 1600 a. C. No se sabe si la primera demostración fue suya o de su escuela. La demostración clásica es la de Euclides, en la proposición 47 del libro primero de los Elementos.
Fuentes
- Teorema de Pitágoras — Secretaría de Educación Pública (SEP), Nueva Escuela Mexicana. Enunciado del teorema, su interpretación con áreas de cuadrados y las ecuaciones para despejar cualquier lado.
- Pythagorean Theorem and its many proofs — Alexander Bogomolny, Cut the Knot. Historia del teorema, la tablilla babilónica, las proposiciones I.47 y I.48 de Euclides y la recopilación de Loomis.
- Pythagorean Theorem — Wolfram MathWorld. Demostraciones del teorema, incluida la de James Garfield con un trapecio.
Revisado el 30 de septiembre de 2026Así revisamos cada calculadora