Ángulos de un Triángulo
Los tres ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180°. Si conoces dos, el tercero es 180° − A − B: con ángulos de 50° y 60°, el tercero mide 70°. Si solo conoces los tres lados, los ángulos se calculan con la ley de cosenos.
Contenido
Qué datos necesitas
Según lo que sepas del triángulo, usa una de estas opciones:
- Dos ángulos. Da el tercero, el ejercicio más común.
- Los tres lados. Los tres ángulos, con la ley de cosenos.
- Dos catetos de un triángulo rectángulo. Los ángulos agudos, con la tangente.
- Un cateto y la hipotenusa. Con el seno.
- El ángulo desigual de un isósceles. Los dos ángulos iguales de la base.
Cada ángulo aparece en grados decimales y en grados, minutos y segundos, con el tipo de triángulo (acutángulo, rectángulo u obtusángulo). Copiar guarda el resultado con sus medidas, y Enlace copia una dirección que abre la calculadora con ese mismo cálculo.
Por qué suman 180°
Si trazas por un vértice una recta paralela al lado opuesto, los otros dos ángulos del triángulo reaparecen junto al del vértice, a cada lado. Los tres quedan uno al lado del otro sobre la recta, y una recta mide 180°.
Lo mismo se ve de forma práctica: recorta un triángulo de papel, arranca sus tres esquinas y júntalas por las puntas. Siempre forman media vuelta, una línea recta.
Con los tres lados: la ley de cosenos
Cuando no tienes ningún ángulo, la ley de cosenos los da a partir de los lados. Para el ángulo A, opuesto al lado a:
cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2 × b × c)
Para un triángulo de lados 7, 8 y 9 cm:
- cos A = (8² + 9² − 7²) ÷ (2 × 8 × 9) = 96 ÷ 144 = 0.6667, así que A = 48.19°.
- cos B = (7² + 9² − 8²) ÷ (2 × 7 × 9) = 66 ÷ 126 = 0.5238, así que B = 58.41°.
- C = 180° − 48.19° − 58.41° = 73.40°.
La unidad de los lados no importa: con 7, 8 y 9 metros, los ángulos son los mismos.
Triángulo rectángulo
En un triángulo rectángulo un ángulo mide 90°, y los otros dos suman 90° entre los dos. Con los catetos se usa la tangente: el ángulo opuesto al cateto a mide arctan(a ÷ b).
En el triángulo de catetos 3 y 4 cm, el ángulo opuesto al 3 mide arctan(0.75) = 36.87°, y el otro, 90° − 36.87° = 53.13°. La hipotenusa mide 5 cm, por el teorema de Pitágoras.
Si tienes un cateto y la hipotenusa, se usa el seno: con un cateto de 1 y una hipotenusa de 2, el ángulo opuesto mide arcsen(0.5) = 30°.
Ángulos de triángulos conocidos
| Triángulo | Ángulos |
|---|---|
| Equilátero | 60°, 60° y 60° |
| Rectángulo isósceles | 45°, 45° y 90° |
| Rectángulo de lados 1, √3 y 2 | 30°, 60° y 90° |
| Rectángulo de lados 3, 4 y 5 | 36.87°, 53.13° y 90° |
| Isósceles con 40° en el vértice | 70°, 70° y 40° |
Si además quieres saber cuánto mide su superficie, usa la calculadora del área de un triángulo.
Ángulos exteriores y polígonos
Cada ángulo exterior mide 180° menos el interior que tiene al lado, y los tres exteriores suman 360°. En el triángulo de 50°, 60° y 70°, los exteriores miden 130°, 120° y 110°.
La suma de 180° sirve también para otros polígonos: cualquier polígono se divide en triángulos desde un vértice. Un pentágono queda en tres triángulos, así que sus ángulos suman 540°, algo que también aparece en el área de un pentágono.
Errores al calcular ángulos
Calculadora en radianes. Si tu calculadora está en modo RAD, arccos(0.6667) da 0.84 en lugar de 48.19°. Revisa que esté en grados (DEG).
Emparejar mal lados y ángulos. En la ley de cosenos, el lado que se resta es el opuesto al ángulo que buscas.
Datos que no forman un triángulo. Con lados de 1, 2 y 5 cm no hay triángulo: cada lado debe ser menor que la suma de los otros dos. Tampoco hay triángulo si dos ángulos ya suman 180° o más.
Confundir decimales con minutos. 36.87° no son 36° 87'. Son 36° 52' 12", porque 0.87 grados son unos 52 minutos.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto suman los ángulos de un triángulo?
Siempre 180°, en cualquier triángulo: grande o pequeño, acutángulo, rectángulo u obtusángulo. Si dos ángulos miden 90° y 35°, el tercero mide 180° − 90° − 35° = 55°. Por eso un triángulo no puede tener dos ángulos rectos ni dos obtusos.
¿Cómo se calculan los ángulos de un triángulo con sus lados?
Con la ley de cosenos: cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc), y lo mismo para los otros. En un triángulo de lados 5, 5 y 8 cm, los dos ángulos iguales miden 36.87° y el tercero, 106.26°, así que es obtusángulo.
¿Cuáles son los ángulos de un triángulo de lados 3, 4 y 5?
36.87°, 53.13° y 90°. Es un triángulo rectángulo, porque 3² + 4² = 5². El ángulo de 36.87° está frente al lado de 3, y el de 53.13°, frente al de 4. En grados y minutos, son 36° 52' y 53° 8'.
¿Cómo sacar los ángulos de un triángulo rectángulo?
Uno mide 90°. Para los otros, divide un cateto entre el otro y aplica arctan: con catetos de 5 y 12 cm, arctan(5 ÷ 12) = 22.62°, y el otro ángulo es 90° − 22.62° = 67.38°. Los dos agudos siempre suman 90°.
¿Cuánto miden los ángulos de un triángulo isósceles?
Los dos ángulos de la base son iguales y miden (180° − ángulo desigual) ÷ 2. Si el ángulo desigual mide 120°, cada ángulo de la base mide 30°. Si el desigual mide 90°, los otros dos miden 45°: es el rectángulo isósceles.
¿Qué son los ángulos exteriores de un triángulo?
Son los que se forman al prolongar un lado: cada uno mide 180° menos el ángulo interior de su vértice, y los tres suman 360°. También se cumple que cada exterior es igual a la suma de los dos interiores que no tiene al lado.
Fuentes
- Triangle — Wolfram MathWorld. Suma de los ángulos interiores y clasificación de los triángulos.
- Law of Cosines — Wolfram MathWorld. Relación entre los lados y los ángulos de cualquier triángulo.
Revisado el 9 de octubre de 2026Así revisamos cada calculadora