Calculadora de Logaritmos
log₂(8) = 3 porque 2³ = 8. Un logaritmo responde a qué exponente hay que elevar la base para obtener el número: log_b(x) = y significa b^y = x. Escribe el número y la base y la calculadora muestra el resultado con el cambio de base paso a paso.
Contenido
Qué es un logaritmo
El logaritmo es la operación inversa de la potenciación: si b^y = x, entonces log_b(x) = y. Mientras la potenciación responde "¿cuánto es 2³?", el logaritmo responde al revés: "¿a qué exponente elevo el 2 para obtener 8?". Los tres que más aparecen son el decimal (base 10, escrito log), el natural (base e ≈ 2.71828, escrito ln) y el binario (base 2).
Cómo calcular un logaritmo a mano
Cuando el número es una potencia exacta de la base, el logaritmo se lee directo. Para log₂(32), escribe las potencias de 2: 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32. El exponente que da 32 es 5, así que log₂(32) = 5.
Con base 10 funciona igual, incluso con decimales: log₁₀(0.001) pregunta "¿a qué exponente elevo el 10 para obtener 0.001?". Como 10⁻³ = 1/1000 = 0.001, el resultado es −3. Cada cero que agregas a la derecha suma 1 al logaritmo: log₁₀(10) = 1, log₁₀(100) = 2, log₁₀(1000) = 3.
El cambio de base, paso a paso
Cuando el número no es potencia exacta de la base, se usa la fórmula del cambio de base: log_b(x) = ln(x) / ln(b). Así calcula log₂(10):
- ln(10) ≈ 2.302585 y ln(2) ≈ 0.693147.
- Divide: 2.302585 / 0.693147 ≈ 3.3219.
- Comprueba: 2^3.3219 ≈ 10.
La calculadora de arriba muestra esta misma división para cualquier base que elijas, con los dos logaritmos naturales a la vista.
Logaritmos que conviene memorizar
Estos diez aparecen una y otra vez en ejercicios; cada valor está verificado.
| Logaritmo | Valor | Por qué |
|---|---|---|
| log₁₀(1) | 0 | 10⁰ = 1 |
| log₁₀(10) | 1 | 10¹ = 10 |
| log₁₀(100) | 2 | 10² = 100 |
| log₁₀(1000) | 3 | 10³ = 1000 |
| log₁₀(0.1) | −1 | 10⁻¹ = 0.1 |
| log₁₀(2) | 0.3010 | 10^0.3010 ≈ 2 |
| ln(e) | 1 | e¹ = e |
| ln(1) | 0 | e⁰ = 1 |
| log₂(8) | 3 | 2³ = 8 |
| log₂(16) | 4 | 2⁴ = 16 |
Las tres reglas que simplifican cuentas
Los logaritmos convierten multiplicaciones en sumas, divisiones en restas y potencias en multiplicaciones. Las tres reglas, con números:
- Producto: log(x·y) = log(x) + log(y). Ejemplo: log₁₀(200) = log₁₀(2) + log₁₀(100) ≈ 0.3010 + 2 = 2.3010.
- Cociente: log(x/y) = log(x) − log(y). Ejemplo: log₁₀(1000/10) = 3 − 1 = 2, que es log₁₀(100).
- Potencia: log(x^n) = n·log(x). Ejemplo: log₁₀(8) = 3·log₁₀(2) ≈ 3 × 0.30103 = 0.9031.
Errores comunes con logaritmos
- Pedir el logaritmo de cero o de un negativo. No existe en los reales: ninguna potencia de una base positiva da cero ni un negativo.
- Usar base 1. 1 elevado a cualquier exponente da 1, así que log₁(x) no está definido para ningún x.
- Repartir el logaritmo en una suma. log(2 + 3) no es log(2) + log(3): log₁₀(5) ≈ 0.6990, mientras que 0.3010 + 0.4771 = 0.7781.
- Confundir log con ln en la calculadora. La tecla log es base 10 y la tecla ln es base e; log₁₀(10) = 1 pero ln(10) ≈ 2.3026.
Operaciones relacionadas
- La calculadora de potencias hace la operación inversa: si log₂(8) = 3, entonces 2³ = 8.
- El conversor de binario a decimal trabaja con la base 2, donde log₂ dice cuántos bits necesita un número.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto es log₂(8) y cómo se calcula?
log₂(8) = 3, porque 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. El logaritmo pregunta a qué exponente hay que elevar la base (2) para obtener el número (8), y ese exponente es 3. Escríbelo en la calculadora en el modo "Otra base" con número 8 y base 2: verás el 3 junto con la comprobación 2³ = 8.
¿Qué diferencia hay entre log y ln?
Solo la base: log es el logaritmo decimal (base 10) y ln es el logaritmo natural (base e ≈ 2.71828). Por eso log(100) = 2 mientras que ln(100) ≈ 4.6052: son preguntas distintas, "¿10 a qué da 100?" frente a "¿e a qué da 100?". En la calculadora, cada uno tiene su propio modo.
¿Por qué no existe el logaritmo de cero?
Porque log_b(0) = y exigiría b^y = 0, y ninguna potencia de una base positiva da cero: 10⁻¹⁰⁰ es 0.00…01, diminuto pero nunca cero. Lo mismo vale para los negativos. Ante un cero o un negativo, la calculadora muestra un aviso en vez de devolver un número sin sentido.
¿Por qué la base no puede ser 1?
Porque 1 elevado a cualquier exponente siempre da 1: 1⁵ = 1, 1⁻³ = 1. Entonces log₁(5) preguntaría "¿1 a qué da 5?", y no hay respuesta. La base debe ser positiva y distinta de 1; las más usadas son 10, e ≈ 2.71828 y 2.
¿Cómo calculo log₅(125) sin calculadora?
Busca a qué potencia de 5 da 125: 5¹ = 5, 5² = 25, 5³ = 125. El exponente es 3, así que log₅(125) = 3. Este truco funciona siempre que el número sea potencia exacta de la base; si no lo es, como log₂(10), se usa el cambio de base: ln(10)/ln(2) ≈ 3.3219.
¿Para qué sirven los logaritmos?
Para medir lo que crece en múltiplos, no en sumas. La escala de pH en química, los decibelios en acústica y la escala de Richter en sismología son logarítmicas: cada escalón multiplica la cantidad anterior. En informática, log₂ dice cuántos bits necesita un número, y en finanzas el logaritmo natural aparece en el crecimiento continuo.
Fuentes
- Logarithm — Wolfram MathWorld. Definición, cambio de base, logaritmo natural y propiedades.
Revisado el 28 de octubre de 2026Así revisamos cada calculadora