Calculadora de Desviación Estándar
La desviación estándar mide qué tan dispersos están los datos alrededor de su promedio. Se calcula restando la media a cada valor, elevando cada diferencia al cuadrado, promediando esos cuadrados y sacando la raíz cuadrada. Si los datos son una muestra, el promedio de los cuadrados se divide entre n − 1; si son la población completa, entre n. En esta misma página encuentras además dos herramientas hermanas: la puntuación Z, que ubica un dato dentro de su grupo, y la mediana, la moda y el rango del conjunto.
Contenido
¿Qué mide la desviación estándar?
Mide cuánto se dispersan típicamente los datos alrededor de su media, en las mismas unidades que los datos. Es la medida de dispersión más usada en estadística porque resume en un solo número qué tan parejo o qué tan variado es un conjunto.
Dos grupos pueden tener la misma media y ser muy distintos. Las calificaciones 7, 8, 9, 6, 10, 8, 7, 9 promedian 8, con desviación estándar muestral de 1.31. Las calificaciones 8, 8, 7, 9, 8 también promedian 8, pero su desviación estándar es 0.71. El segundo grupo es más parejo: sus notas se mueven típicamente ±0.71 puntos alrededor del 8, contra ±1.31 del primero. La media sola no te dice eso; la desviación estándar sí.
Muestra o población: cuál elegir
Elige «población» solo si tienes el 100 % de los datos del grupo que estudias. En casi todos los demás casos, tus datos son una muestra. Esta es la decisión que más cambia el resultado, y la que más se pasa por alto.
Población (σ). Tienes todos los datos del grupo que te interesa: las calificaciones de los 8 alumnos del salón, si el salón es todo lo que estudias. La suma de los cuadrados se divide entre n.
Muestra (s). Tus datos son solo una parte del grupo: encuestaste a 8 de los 200 alumnos de la escuela, mediste 10 piezas de un lote de 5,000. La suma de los cuadrados se divide entre n − 1.
El − 1 no es un capricho. La media de la muestra se calculó con los mismos datos, y eso hace que las diferencias parezcan un poco más pequeñas de lo real: una muestra subestima sistemáticamente la dispersión de la población. Dividir entre n − 1 compensa ese sesgo. Se le conoce como corrección de Bessel.
En la práctica, si dudas, es muestra. Las encuestas, los experimentos y las mediciones de control de calidad casi siempre son muestras. La calculadora de arriba trae las dos opciones: cambia el selector y mira cómo se mueve el resultado.
| Poblacional (σ) | Muestral (s) | |
|---|---|---|
| Se usa cuando | tienes el 100 % de los datos | tienes solo una parte |
| La suma de cuadrados se divide entre | n | n − 1 |
| Con el ejemplo (suma = 12, n = 8) | σ = 1.2247 | s = 1.3093 |
Cómo se calcula paso a paso
El procedimiento siempre es el mismo: se obtiene la media, se resta a cada valor, se eleva cada diferencia al cuadrado, se promedian esos cuadrados y se saca la raíz cuadrada. Con las calificaciones 7, 8, 9, 6, 10, 8, 7, 9, tratadas como muestra:
| Valor (xᵢ) | xᵢ − media | (xᵢ − media)² |
|---|---|---|
| 7 | −1 | 1 |
| 8 | 0 | 0 |
| 9 | 1 | 1 |
| 6 | −2 | 4 |
| 10 | 2 | 4 |
| 8 | 0 | 0 |
| 7 | −1 | 1 |
| 9 | 1 | 1 |
- Media: (7 + 8 + 9 + 6 + 10 + 8 + 7 + 9) ÷ 8 = 64 ÷ 8 = 8.
- Diferencias al cuadrado: resta 8 a cada valor y eleva al cuadrado, como muestra la tabla.
- Suma de cuadrados: 1 + 0 + 1 + 4 + 4 + 0 + 1 + 1 = 12.
- Varianza muestral: 12 ÷ (8 − 1) = 12 ÷ 7 = 1.7143.
- Desviación estándar: √1.7143 = 1.3093.
Si esos 8 valores fueran la población completa, el paso 4 sería 12 ÷ 8 = 1.5 y el paso 5 daría √1.5 = 1.2247. Puedes comprobarlo en la calculadora de arriba: escribe los mismos valores y cambia el selector entre muestra y población.
Qué te dice el resultado
Te dice el rango típico donde se mueven tus datos. Con media 8 y desviación estándar 1.31, la mayoría de los valores cae entre 6.69 y 9.31. Eso es lo que significa «típicamente ±1.31 alrededor de la media».
La desviación estándar queda en las mismas unidades que tus datos: 1.31 puntos de calificación, $303.32 pesos en unas ventas semanales que promedian $1,620. La varianza (1.7143), en cambio, queda en unidades al cuadrado y no se interpreta directamente; por eso el último paso es sacar la raíz.
Cuando los datos se reparten en forma de campana, alrededor del 68 % cae dentro de ±1 desviación estándar de la media. Y para comparar dispersiones entre conjuntos con medias distintas, se usa el coeficiente de variación: desviación estándar ÷ media × 100. En el ejemplo de las calificaciones: 1.3093 ÷ 8 × 100 = 16.37 %.
Errores que cambian tu resultado
El más común es dividir entre n cuando los datos son una muestra: con el ejemplo de las calificaciones da 1.2247 en lugar de 1.3093. Revisa siempre qué opción elegiste en la calculadora.
- Confundir la varianza con la desviación estándar. La varianza (1.7143) está en unidades al cuadrado; la desviación estándar (1.3093) está en las unidades de tus datos. Son dos números distintos.
- Olvidar la raíz cuadrada. Si tu respuesta es 1.7143, te quedaste en la varianza: falta el último paso.
- Usar coma decimal. En esta calculadora, «7,5» se lee como dos valores (7 y 5). Escribe los decimales con punto: 7.5.
- Mezclar unidades. Todos los valores del conjunto deben estar en la misma unidad: no combines pesos con dólares ni centímetros con pulgadas.
- Un solo dato en modo muestra. Con n = 1 se divide entre cero y el cálculo no existe; la calculadora te lo advierte.
Puntuación Z: qué tan lejos está un dato de la media
La puntuación Z (también llamada valor Z) convierte cualquier dato en una distancia: cuántas desviaciones estándar lo separan de la media de su grupo. La fórmula es z = (x − μ) ÷ σ. El signo dice el lado: positivo, por encima de la media; negativo, por debajo. Y como es una distancia sin unidades, permite comparar datos medidos en escalas distintas: un examen calificado sobre 100 y otro sobre 10 se comparan por su Z, no por su nota cruda.
Ejemplo: en un examen con media 70 y desviación estándar 10, una calificación de 85 tiene z = (85 − 70) ÷ 10 = 1.5. Está 1.5 desviaciones estándar por encima de la media y, si las notas se reparten en forma de campana, supera aproximadamente al 93.32 % del grupo. Una calificación de 55 da z = −1.5: el mismo alejamiento, pero hacia abajo, alrededor del percentil 6.68.
Cómo se lee el resultado: entre −1 y 1 está la zona típica, donde cae cerca del 68 % de los datos cuando forman una campana. Entre 1 y 2 (o entre −1 y −2) el dato ya se aleja, y sumando ambos lados el acumulado llega al 95 %. Más allá de ±2 el dato es poco común, y más allá de ±3 es raro: en control de calidad, un Z así suele disparar una revisión del proceso. Si todavía no tienes la desviación estándar de tu grupo, calcúlala primero con la herramienta principal de esta misma página.
Mediana, moda y rango
La desviación estándar no es la única forma de resumir un conjunto. La mediana es el valor central cuando los datos se ordenan: la mitad queda por debajo y la mitad por encima. La moda es el valor que más se repite. Y el rango es la distancia entre el máximo y el mínimo (máximo − mínimo), la medida de dispersión más simple que existe.
Con los datos 4, 8, 8, 15, 16, 23, 42: la mediana es 15 (el cuarto de los siete valores ordenados), la moda es 8 (se repite dos veces) y el rango es 42 − 4 = 38. La media de ese conjunto es 16.57: el 42 la jala hacia arriba, mientras la mediana ni se entera. Por eso los sueldos y los precios de vivienda se suelen reportar con la mediana y no con el promedio.
Cuándo usar cada una: la moda es la única de estas medidas que sirve para datos que no son números (el color más vendido, la talla más pedida), y un conjunto puede tener una moda, varias o ninguna. El rango sirve como chequeo rápido, pero depende solo de los dos extremos: un solo dato raro lo dispara, como pasa con el 42 del ejemplo. Para una medida de dispersión que use todos los datos, esa es la desviación estándar de la herramienta principal de esta página.
Calculadoras relacionadas
Si trabajas con un conjunto de datos, estas dos también te sirven:
- Calculadora de promedio: para obtener la media de tu conjunto, que es el primer paso del cálculo de la desviación estándar.
- Convertidor de unidades: para unificar las unidades de tus datos antes de calcular, porque la desviación estándar exige que todos los valores estén en la misma unidad.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre la desviación estándar muestral y la poblacional?
La muestral (s) se usa cuando tus datos son solo una parte del grupo y divide la suma de cuadrados entre n − 1; la poblacional (σ) se usa cuando tienes el 100 % de los datos y divide entre n. Con los valores 7, 8, 9, 6, 10, 8, 7, 9: s = 1.3093 y σ = 1.2247. La muestral siempre da un poco más, porque corrige el sesgo de estimar con una parte.
¿Cómo se calcula la desviación estándar a mano?
Primero la media: (7 + 8 + 9 + 6 + 10 + 8 + 7 + 9) ÷ 8 = 8. Resta 8 a cada valor y eleva al cuadrado: 1, 0, 1, 4, 4, 0, 1, 1. Súmalos: 12. Divide entre n − 1 = 7: 12 ÷ 7 = 1.7143. Saca la raíz cuadrada: √1.7143 = 1.3093. Si tus datos son la población completa, divide entre 8: 12 ÷ 8 = 1.5 y √1.5 = 1.2247.
¿Qué significa que la desviación estándar sea cero?
Que todos los valores son iguales: no hay dispersión que medir. Con 8, 8, 8, la media es 8, cada diferencia es 0, la suma de cuadrados es 0 y la raíz de 0 es 0. En la práctica, un cero te dice que la variable no varió: todos los alumnos sacaron la misma calificación o todas las piezas midieron lo mismo.
¿La desviación estándar puede ser negativa?
No. Es la raíz cuadrada de una suma de cuadrados, y un cuadrado nunca es negativo, así que el resultado mínimo es cero. Si tu cálculo da negativo, revisa el procedimiento: lo más probable es que un signo se haya perdido al restar o al elevar al cuadrado.
¿Por qué se divide entre n − 1 en la muestra?
Porque la media de la muestra se calculó con los mismos datos, y eso hace que las diferencias parezcan más pequeñas de lo real: la muestra subestima sistemáticamente la dispersión de la población. Dividir entre n − 1 en lugar de n compensa ese sesgo; es la corrección de Bessel. Con poblaciones completas no hay estimación de por medio, así que se divide entre n.
¿En qué unidades queda la desviación estándar?
En las mismas unidades que tus datos: si mides calificaciones, queda en puntos; si mides pesos, en pesos. La varianza, en cambio, queda en unidades al cuadrado (1.7143 puntos² en el ejemplo) y por eso no se interpreta directamente: la raíz cuadrada devuelve la medida a las unidades originales.
¿Cuándo una desviación estándar se considera grande?
No hay un número mágico: depende de la escala. Una desviación de 1.31 en calificaciones de 0 a 10 es moderada; la misma 1.31 en estaturas medidas en metros sería enorme. La forma honesta de juzgarla es relativa: divide la desviación entre la media y multiplica por 100 (coeficiente de variación). En el ejemplo: 1.3093 ÷ 8 × 100 = 16.37 %.
¿Qué es la puntuación Z y cómo se calcula?
Es la distancia entre un dato y la media de su grupo, medida en desviaciones estándar: z = (x − μ) ÷ σ. Con media 70 y σ = 10, un 85 da z = (85 − 70) ÷ 10 = 1.5. Un Z de 0 es exactamente la media; uno de 2 está dos desviaciones por encima; uno de −1, una por debajo.
¿Cuál es la diferencia entre la media y la mediana?
La media suma todos los valores y divide entre el total; la mediana es el valor central al ordenarlos. Con 4, 8, 8, 15, 16, 23, 42, la media es 16.57 y la mediana es 15. La diferencia crece cuando hay valores extremos: un solo dato muy grande arrastra la media hacia él y no mueve la mediana.
¿Un conjunto de datos puede tener más de una moda?
Sí. Si dos o más valores empatan con la mayor frecuencia, todos son moda: las calificaciones 7, 8, 9, 6, 10, 8, 7, 9 tienen tres modas (7, 8 y 9, con dos apariciones cada una). Y si ningún valor se repite, el conjunto no tiene moda. La calculadora de mediana, moda y rango de esta página detecta los tres casos.
Fuentes
- Standard Deviation — Wolfram MathWorld. Fórmulas de la desviación estándar poblacional (σ) y muestral (s).
- 2.7 Measures of the Spread of the Data — OpenStax, Introductory Statistics 2e. Por qué la varianza muestral se divide entre n − 1 y que la desviación estándar se mide en las mismas unidades que los datos.
- 6.1 The Standard Normal Distribution — OpenStax, Introductory Statistics 2e. Definición de la puntuación Z y su lectura en percentiles bajo la curva normal.
- 2.6 Measures of the Center of the Data — OpenStax, Introductory Statistics 2e. Definiciones de media, mediana y moda, y cuándo conviene cada una.
Revisado el 26 de octubre de 2026Así revisamos cada calculadora