Volumen de una Esfera
El volumen de una esfera se calcula con la fórmula V = 4/3 × π × r³: se eleva el radio al cubo, se multiplica por π y después por 4/3. Una esfera de 3 cm de radio tiene 113.10 cm³. Con el diámetro, usa V = π × d³ ÷ 6.
Contenido
Qué puedes calcular aquí
Elige en la primera lista el dato que tienes:
- El radio, la distancia del centro a la superficie.
- El diámetro, el ancho de la esfera pasando por el centro.
- La circunferencia, lo que mide una cinta alrededor de la parte más ancha. Es la forma más fácil de medir una pelota.
- El área de la superficie, para obtener el radio y el volumen.
- El volumen, para hacer el camino contrario y sacar el radio.
- Una esfera hueca, con el radio exterior y el interior.
El resultado aparece mientras escribes, en la unidad cúbica y en litros, junto con el radio o el diámetro que faltan, el área de la superficie, el volumen de media esfera y el resultado con π = 3.14, que es el valor que piden muchos libros de texto.
Copiar guarda el resultado con sus datos y Enlace copia la dirección de la página con el cálculo ya hecho. Las medidas no salen de tu navegador.
La fórmula paso a paso
V = 4/3 × π × r³
Con un radio de 3 cm:
- Eleva el radio al cubo: 3 × 3 × 3 = 27
- Multiplica por π: 27 × 3.14159 = 84.823
- Multiplica por 4 y divide entre 3: 84.823 × 4 ÷ 3 = 113.10 cm³
Con π = 3.14, el resultado es 113.04 cm³. El radio va al cubo, no al cuadrado: es el error más frecuente con esta fórmula.
Con el diámetro
Como el radio es la mitad del diámetro, la fórmula también se puede escribir:
V = π × d³ ÷ 6
Con un diámetro de 10 cm: 10³ = 1,000, y 3.14159 × 1,000 ÷ 6 = 523.60 cm³. Es lo mismo que calcular con un radio de 5 cm.
¿Por qué 4/3?
La respuesta la encontró Arquímedes hace más de dos mil años. Imagina la esfera metida en el cilindro más pequeño que la contiene: un cilindro con el mismo radio y una altura igual al diámetro, 2r. Arquímedes demostró, en su obra Sobre la esfera y el cilindro, que la esfera ocupa exactamente dos tercios de ese cilindro.
El volumen del cilindro es el área de su base por su altura: π × r² × 2r = 2 × π × r³. Dos tercios de eso son 2/3 × 2 × π × r³ = 4/3 × π × r³. De ahí sale el 4/3.
Arquímedes estaba tan orgulloso de este resultado que pidió que su tumba se marcara con una esfera dentro de un cilindro.
El área de la superficie
La superficie de una esfera, lo que haría falta para forrarla, se calcula con:
A = 4 × π × r²
Es cuatro veces el área de su círculo máximo, otro resultado de Arquímedes, y mide lo mismo que el área lateral del cilindro que la envuelve: 2 × π × r × 2r = 4 × π × r². Una esfera de 10 cm de radio tiene 4 × 3.14159 × 100 = 1,256.64 cm² de superficie.
Las dos fórmulas están relacionadas: si derivas el volumen respecto al radio, obtienes la superficie. La derivada de 4/3 × π × r³ es 4 × π × r². Tiene sentido: al aumentar un poco el radio, el volumen crece en una capa fina del grosor de ese aumento, y esa capa es la superficie.
Un dato curioso: con un radio de 3, el volumen y la superficie dan el mismo número, 113.10, aunque uno esté en cm³ y el otro en cm². Es el único radio en el que coinciden.
Del volumen al radio
Para el camino contrario, despeja el radio:
r = ∛(3 × V ÷ (4 × π))
Una esfera que contiene exactamente un litro, 1,000 cm³, tiene un radio de ∛(3,000 ÷ 12.566) = 6.20 cm, es decir, 12.41 cm de diámetro.
En litros
Un litro son 1,000 cm³. Para pasar el volumen de una esfera medida en centímetros a litros, divide entre 1,000.
| Radio | Volumen | Litros | Superficie |
|---|---|---|---|
| 1 cm | 4.19 cm³ | 0.004 L | 12.57 cm² |
| 2 cm | 33.51 cm³ | 0.034 L | 50.27 cm² |
| 3 cm | 113.10 cm³ | 0.113 L | 113.10 cm² |
| 5 cm | 523.60 cm³ | 0.524 L | 314.16 cm² |
| 10 cm | 4,188.79 cm³ | 4.189 L | 1,256.64 cm² |
Si duplicas el radio, el volumen se multiplica por ocho
Una esfera de 10 cm de radio no tiene el doble de volumen que una de 5 cm, sino ocho veces más: 4,188.79 cm³ frente a 523.60 cm³. Al duplicar el radio se duplican las tres dimensiones, y 2 × 2 × 2 = 8. La superficie, en cambio, se multiplica por cuatro.
Esfera hueca y media esfera
Esfera hueca. El volumen de la pared es la esfera exterior menos la interior:
V = 4/3 × π × (R³ − r³)
Una esfera de 10 cm de radio exterior y 9 cm de radio interior tiene una pared de 4/3 × π × (1,000 − 729) = 1,135.16 cm³. Por dentro caben 3.05 litros.
Media esfera. Su volumen es la mitad: 2/3 × π × r³. Una semiesfera de 3 cm de radio tiene 56.55 cm³.
Errores frecuentes
Elevar el radio al cuadrado en lugar de al cubo. r² es para la superficie; el volumen lleva r³.
Usar el diámetro como si fuera el radio. El volumen sale ocho veces mayor.
Olvidar el 4/3. π × r³ solo es tres cuartas partes del volumen real.
Confundir volumen y superficie. El volumen va en unidades cúbicas y la superficie en cuadradas.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula del volumen de una esfera?
La fórmula es V = 4/3 × π × r³, donde r es el radio. Se eleva el radio al cubo, se multiplica por π y el resultado se multiplica por 4 y se divide entre 3. Si tienes el diámetro, puedes usar V = π × d³ ÷ 6. El resultado va en unidades cúbicas, como cm³ o m³.
¿Por qué el volumen de una esfera es 4/3 de π por el radio al cubo?
Porque una esfera ocupa exactamente dos tercios del cilindro que la envuelve, como demostró Arquímedes. Ese cilindro tiene un volumen de π × r² × 2r = 2 × π × r³, y dos tercios de esa cantidad son 4/3 × π × r³. El 4/3 sale de multiplicar el 2 del cilindro por 2/3.
¿Cuáles son las fórmulas del área de una esfera?
La superficie de una esfera es A = 4 × π × r², cuatro veces el área de su círculo máximo. Con el diámetro, A = π × d². Una esfera de 5 cm de radio tiene 314.16 cm² de superficie. Si conoces la superficie y quieres el radio, r = √(A ÷ (4 × π)).
¿Cuál es el volumen de una esfera de 3 cm de radio?
Una esfera de 3 cm de radio tiene un volumen de 113.10 cm³: 3³ = 27, 27 × π = 84.823, y 84.823 × 4 ÷ 3 = 113.10. Con π = 3.14, el resultado es 113.04 cm³. Su superficie también mide 113.10, pero en centímetros cuadrados.
¿Cuál es el volumen de una esfera de 10 cm de radio?
Una esfera de 10 cm de radio tiene un volumen de 4,188.79 cm³, que son 4.19 litros. La operación es 10³ = 1,000, por π y por 4/3. Su superficie mide 1,256.64 cm² y su diámetro, 20 cm. Tiene ocho veces el volumen de una esfera de 5 cm de radio, porque al duplicar el radio se duplican las tres dimensiones.
¿Cuál es el volumen de una esfera de 10 cm de diámetro?
Una esfera de 10 cm de diámetro tiene 5 cm de radio y un volumen de 523.60 cm³, poco más de medio litro. Con la fórmula del diámetro: π × 10³ ÷ 6 = 523.60. Confundir diámetro y radio aquí daría 4,188.79 cm³, ocho veces más.
¿Cómo se calcula el volumen de una esfera hueca?
Resta el volumen de la esfera interior al de la exterior: V = 4/3 × π × (R³ − r³). Con un radio exterior de 10 cm y uno interior de 9 cm, la pared tiene 1,135.16 cm³. Lo que cabe dentro se calcula solo con el radio interior: 3.05 litros.
Fuentes
- Sphere — Wolfram MathWorld. Volumen y superficie de la esfera.
- Archimedes — Encyclopaedia Britannica. Los resultados de Sobre la esfera y el cilindro: la superficie como cuatro veces el círculo máximo y el volumen como dos tercios del cilindro circunscrito.
Revisado el 2 de octubre de 2026Así revisamos cada calculadora