Calcular Área de un Círculo
El área de un círculo se calcula con la fórmula A = π × r²: se multiplica el radio por sí mismo y el resultado por π (3.14159…). Un círculo de 5 cm de radio mide 78.54 cm², o 78.5 cm² si usas π = 3.14. Si tienes el diámetro, divídelo entre 2 para obtener el radio.
Contenido
Qué calcula esta calculadora
Elige en la primera lista el dato que tienes. Hay cuatro opciones:
- Radio, la distancia del centro al borde.
- Diámetro, la línea que cruza el círculo de lado a lado pasando por el centro. La calculadora lo divide entre 2.
- Circunferencia, la longitud del borde. Sirve cuando has medido el contorno con una cinta.
- Área, para hacer el camino contrario: obtener el radio de un círculo del que conoces la superficie.
El resultado aparece mientras escribes, junto con el radio, el diámetro y la circunferencia que faltan, y la operación completa. También verás el área calculada con π = 3.14, porque es el valor que piden muchos ejercicios escolares y así puedes comparar tu resultado con el del libro.
Copiar guarda el resultado con sus datos y Enlace copia la dirección de la página con el cálculo ya hecho. Las medidas no salen de tu navegador.
La fórmula del área del círculo
A = π × r²
Con un radio de 5 cm:
- Eleva el radio al cuadrado: 5 × 5 = 25
- Multiplica por π: 3.14159 × 25 = 78.54
- Resultado: 78.54 cm²
El orden importa. Primero se eleva el radio al cuadrado y después se multiplica por π. Si multiplicas antes por π y luego elevas todo al cuadrado, el resultado sale π veces mayor: (π × 5)² da 246.74, no 78.54.
De dónde sale la fórmula π × r²
Imagina que cortas el círculo en muchas porciones iguales, como una pizza, y las colocas en fila alternando una hacia arriba y otra hacia abajo. Cuantas más porciones cortes, más se parece la figura a un rectángulo. Su altura es el radio, y su base es la mitad del borde del círculo, es decir, π × r. El área de ese rectángulo es base por altura: π × r × r = π × r².
Hay otra forma de verlo, que Arquímedes dejó escrita en su Medida del círculo, hacia el año 225 a. C. Si divides el círculo en anillos muy finos y los estiras, forman un triángulo con la circunferencia como base (2 × π × r) y el radio como altura. Su área es la mitad de base por altura: ½ × 2πr × r = πr².
Qué es π y por qué a veces se usa 3.14
π es el número de veces que cabe el diámetro en la circunferencia. Vale lo mismo para cualquier círculo, desde una moneda hasta una glorieta: 3.14159265… Sus decimales no se acaban ni se repiten, así que en la práctica siempre se usa una versión redondeada.
| Valor de π | Error frente al valor real | Área con r = 10 cm |
|---|---|---|
| π completo | — | 314.16 cm² |
| 3.1416 | 0.0002 % | 314.16 cm² |
| 3.14 | 0.05 % por debajo | 314 cm² |
| 22/7 | 0.04 % por encima | 314.29 cm² |
Para un ejercicio escolar, 3.14 es suficiente. Para un plano, un presupuesto de material o cualquier cálculo que se vaya a multiplicar después, usa el valor completo, que es el que aplica esta calculadora.
La fracción 22/7 viene también de Arquímedes. Encerró el círculo entre dos polígonos de 96 lados, uno por dentro y otro por fuera, y demostró que π queda entre 223/71 y 22/7, es decir, entre 3.1408 y 3.1429.
Área de un círculo con el diámetro
El diámetro es el doble del radio. Divídelo entre 2 y aplica la fórmula normal:
A = π × (d ÷ 2)², que es lo mismo que A = π × d² ÷ 4
Con un diámetro de 40 cm:
- Radio: 40 ÷ 2 = 20 cm
- 20² = 400
- 3.14159 × 400 = 1,256.64 cm²
Un detalle que sorprende: si duplicas el diámetro, el área no se duplica, se multiplica por cuatro. Un círculo de 20 cm de diámetro mide 314.16 cm²; uno de 40 cm, 1,256.64 cm². Dicho de otro modo: un círculo de 40 cm de diámetro cubre la misma superficie que cuatro círculos de 20 cm.
Área a partir de la circunferencia
Si has medido el contorno con una cinta, primero obtén el radio y después el área.
r = C ÷ (2 × π), y después A = π × r²
Con una circunferencia de 31.4 cm:
- Radio: 31.4 ÷ 6.2832 = 4.9975 cm
- Área: 3.14159 × 4.9975² = 78.46 cm²
También puedes hacerlo en un solo paso con A = C² ÷ (4 × π): 31.4² ÷ 12.5664 = 985.96 ÷ 12.5664 = 78.46 cm².
Del área al radio
Para el camino contrario, divide el área entre π y saca la raíz cuadrada:
r = √(A ÷ π)
Con un área de 78.54 cm²: 78.54 ÷ 3.14159 = 25, y √25 = 5 cm. Es útil para saber qué tamaño de mesa, alfombra o maceta redonda cubre una superficie determinada.
Círculo y circunferencia no son lo mismo
La circunferencia es la línea curva del borde. El círculo es la superficie que queda dentro de ella. Así lo explican también los materiales de la Nueva Escuela Mexicana de la SEP: en el círculo, al perímetro se le llama circunferencia, y el área es la superficie dentro de ella.
Por eso una circunferencia tiene longitud pero no área, y un círculo tiene área. Cuando alguien busca el «área de una circunferencia», en realidad quiere el área del círculo que encierra, y la fórmula es la misma: π × r².
La longitud de la circunferencia se calcula con C = 2 × π × r. Esa es la respuesta a la pregunta frecuente de qué significa 2πr: es el perímetro del círculo, no su área. Con un radio de 5 cm, la circunferencia mide 31.42 cm.
Un dato curioso: de todas las figuras planas con el mismo perímetro, el círculo es la que encierra más superficie.
Comprueba π con una cuadrícula
La SEP propone un ejercicio sencillo para ver de dónde sale la fórmula. Dibuja sobre papel cuadriculado un círculo de 5 cuadritos de radio y, al lado, un cuadrado de 5 cuadritos de lado.
El cuadrado tiene 25 cuadritos. Contando los cuadritos completos del círculo y compensando los que quedan cortados por el borde, salen unos 78. Si divides 78 entre 25 obtienes 3.12, muy cerca de π.
El valor exacto sería 78.54 ÷ 25 = 3.1416. La conclusión es la fórmula misma: el área del círculo es π veces el cuadrado de su radio.
Medio círculo, un cuarto y un sector
Un sector circular es una porción del círculo delimitada por dos radios, como una rebanada de pastel. Su área es la parte proporcional al ángulo que abre:
A = (ángulo ÷ 360) × π × r²
- Medio círculo (180°): la mitad del área total
- Un cuarto de círculo (90°): la cuarta parte
- Con r = 10 cm y 90°: (90 ÷ 360) × 314.16 = 78.54 cm²
Tabla de áreas por radio
| Radio | Área (π completo) | Área con π = 3.14 | Circunferencia |
|---|---|---|---|
| 1 | 3.1416 | 3.14 | 6.2832 |
| 2 | 12.5664 | 12.56 | 12.5664 |
| 3 | 28.2743 | 28.26 | 18.8496 |
| 4 | 50.2655 | 50.24 | 25.1327 |
| 4.5 | 63.6173 | 63.585 | 28.2743 |
| 5 | 78.5398 | 78.5 | 31.4159 |
| 6 | 113.0973 | 113.04 | 37.6991 |
| 7 | 153.9380 | 153.86 | 43.9823 |
| 8 | 201.0619 | 200.96 | 50.2655 |
| 10 | 314.1593 | 314 | 62.8319 |
| 20 | 1,256.6371 | 1,256 | 125.6637 |
El área sale en la unidad al cuadrado: si el radio está en centímetros, el área está en cm²; si está en metros, en m².
Errores frecuentes
Usar el diámetro como si fuera el radio. El resultado sale cuatro veces mayor. Si el dato es el diámetro, divídelo entre 2 antes de nada.
Confundir 2πr con πr². La primera fórmula da el perímetro, en unidades lineales. La segunda da el área, en unidades al cuadrado.
Multiplicar por π antes de elevar al cuadrado. Solo el radio va al cuadrado; π no.
Olvidar el cuadrado en la unidad. Un área de 78.54 se escribe en cm² o m², nunca en cm o m.
Mezclar valores de π. Si el libro usa 3.14 y tú el valor completo, tu respuesta diferirá en los decimales. No es un error de cálculo: la calculadora muestra los dos resultados.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un círculo?
La fórmula es A = π × r², donde r es el radio y π vale aproximadamente 3.14159. Se eleva el radio al cuadrado y el resultado se multiplica por π. Si conoces el diámetro, usa A = π × d² ÷ 4, que da el mismo resultado. El área se expresa en unidades al cuadrado, como cm² o m².
¿Qué significa 2πr?
2πr es la fórmula de la circunferencia, es decir, del perímetro del círculo: la longitud de su borde. Con un radio de 5 cm, 2 × 3.14159 × 5 = 31.42 cm. No hay que confundirla con πr², que da el área. La primera mide una línea y la segunda una superficie.
¿Cuál es el área de un círculo de 4 cm de radio?
Un círculo de 4 cm de radio tiene un área de 50.27 cm². La operación es 4² = 16, y 16 × 3.14159 = 50.27. Si el ejercicio pide usar π = 3.14, el resultado es 50.24 cm². Su circunferencia mide 25.13 cm.
¿Cuál es el área de un círculo de 40 cm de diámetro?
Un círculo de 40 cm de diámetro tiene 20 cm de radio y un área de 1,256.64 cm². La operación es 20² = 400, y 400 × 3.14159 = 1,256.64. En metros cuadrados son 0.1257 m², porque un metro cuadrado son 10,000 centímetros cuadrados.
¿Cómo saco el área de un círculo de 4.5 cm?
Depende de si 4.5 cm es el radio o el diámetro. Si es el radio, el área es 4.5² × 3.14159 = 63.62 cm². Si es el diámetro, el radio es 2.25 cm y el área es 15.90 cm². Revisa el enunciado: la diferencia entre los dos casos es de cuatro veces.
¿Cómo se calcula el área de una circunferencia?
En sentido estricto, una circunferencia es solo la línea del borde y no tiene área. Lo que se calcula es el área del círculo que encierra, con la fórmula π × r². Si lo que tienes es la longitud de la circunferencia, divídela entre 2π para obtener el radio y aplica después la fórmula.
¿Cómo se calcula el área de un sector circular?
Multiplica el área del círculo completo por la fracción que representa el ángulo del sector: A = (ángulo ÷ 360) × π × r². Un sector de 90° en un círculo de 10 cm de radio mide 90 ÷ 360 × 314.16 = 78.54 cm², la cuarta parte del círculo.
Fuentes
- Circle — Wolfram MathWorld. Fórmulas del área y de la circunferencia, sus demostraciones con franjas y porciones, y la derivación de Arquímedes en Medida del círculo.
- Archimedes Algorithm — Wolfram MathWorld. Cómo acotó Arquímedes el valor de π entre 223/71 y 22/7 con polígonos de 96 lados.
- El perímetro y área del círculo — Secretaría de Educación Pública (SEP), Nueva Escuela Mexicana. Distinción entre circunferencia y círculo, y el ejercicio de la cuadrícula para estimar π.
Revisado el 27 de septiembre de 2026Así revisamos cada calculadora