Área de una Elipse
El área de una elipse es A = π × a × b, donde a y b son los semiejes. Una elipse con semiejes de 8 y 5 cm tiene un área de π × 40 = 125.66 cm². Cada semieje se mide del centro al borde; si mediste los ejes completos, divídelos entre dos antes de multiplicar.
Contenido
Qué es una elipse
Una elipse es la curva donde la suma de las distancias a dos puntos fijos, los focos, siempre es la misma. El resultado es un óvalo simétrico respecto a sus dos ejes: un círculo estirado en una dirección. Cuando los dos focos se juntan en el centro, la elipse se vuelve un círculo.
Las órbitas de los planetas son elipses con el Sol en uno de los focos, como descubrió Kepler en 1609. En la vida diaria la ves en mesas ovaladas, espejos de baño y pistas de atletismo.
Los semiejes: cómo medirlos sin equivocarse
El semieje mayor (a) va del centro al punto más lejano del borde; el semieje menor (b), del centro al más cercano. Son las mitades de los ejes completos.
El error clásico es meter los ejes completos en la fórmula: como cada medida entra dos veces más grande, el área sale cuatro veces mayor. Si tu flexómetro midió de borde a borde, divide entre dos primero, o usa el modo de ejes completos de la calculadora.
Cómo calcular el área a mano, paso a paso
Elipse con semiejes a = 8 cm y b = 5 cm:
- Multiplica los semiejes: 8 × 5 = 40.
- Multiplica por π: 40 × π = 125.6637 cm².
- Redondea: 125.66 cm². Con el π = 3.14 de los libros de texto da 125.6 cm²; la diferencia es de centésimas.
La calculadora muestra los dos valores: el exacto con π completo y el de libro con π = 3.14, para que tu resultado coincida con el del maestro.
Si la elipse viene en ecuación
En la ecuación x²/25 + y²/9 = 1, los semiejes son las raíces cuadradas de los denominadores: a² = 25, así que a = 5; b² = 9, así que b = 3. El semieje mayor siempre corresponde al denominador mayor.
El área es π × 5 × 3 = 47.12 cm². Este es el ejercicio típico de preparatoria: identificar a y b en la ecuación canónica y aplicar la fórmula.
El perímetro y la excentricidad, de paso
El perímetro de la elipse no tiene una fórmula cerrada sencilla: se calcula con una integral elíptica. En la práctica se usa la aproximación de Ramanujan, que es la que muestra la calculadora junto al área.
La excentricidad mide qué tan alargada está la elipse: e = √(1 − b²/a²), de 0 (un círculo) a casi 1 (muy estirada).
Con a = 8 y b = 5: e = √(1 − 25/64) = 0.78 y el perímetro ≈ 41.39. El perímetro de un círculo sí tiene fórmula exacta, 2πr, porque es el caso e = 0.
Ejemplo real: la mesa ovalada
Una mesa de comedor ovalada mide 2 m de eje mayor y 1.2 m de eje menor. Los semiejes son 1 m y 0.6 m.
A = π × 1 × 0.6 = 1.8850 m², unos 1.88 m². Esa es la superficie a cubrir si la vas a barnizar o a mandar a hacer un vidrio a medida: el vidriero corta por área, no por perímetro.
Áreas de elipses comunes
Valores para revisar tu cálculo:
| Semiejes (a, b) | Área (cm²) |
|---|---|
| 5 y 3 | 47.12 |
| 10 y 6 | 188.50 |
| 4 y 4 | 50.27 (círculo) |
| 8 y 5 | 125.66 |
| 6 y 2 | 37.70 |
| 2 y 1.5 | 9.42 |
Calculadoras relacionadas
- Área de un círculo: πr², el caso especial donde a = b.
- Perímetro de un círculo: 2πr, el caso exacto frente a la aproximación de la elipse.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula del área de una elipse?
A = π × a × b, con a y b como semiejes. Con semiejes de 8 y 5 cm, el área es π × 40 = 125.66 cm². Es la fórmula del círculo estirada: si a = b = r, se convierte en πr².
¿Qué son los semiejes a y b?
Las mitades de los ejes: a va del centro al borde más lejano y b al más cercano. En una elipse de 16 cm de eje mayor y 10 cm de eje menor, a = 8 y b = 5. Por definición siempre a ≥ b.
¿Qué pasa si mido los ejes completos en vez de los semiejes?
Divídelos entre dos antes de multiplicar. Con ejes de 16 y 10 cm, los semiejes son 8 y 5, y el área es 125.66 cm². Si metes 16 y 10 directo en la fórmula obtienes 502.65 cm²: cuatro veces el valor real.
¿Un círculo es una elipse?
Sí: es la elipse con excentricidad cero, donde a = b = r. La fórmula A = πab se vuelve πr². Con a = b = 4, el área es 50.27 cm², la misma que da la calculadora del área de un círculo.
¿Por qué el área de la elipse se parece a la del círculo?
Porque la elipse es un círculo estirado: alargar por a en una dirección y por b en la otra escala el área por a × b. De πr² se pasa a πab. La intuición geométrica y la fórmula dicen lo mismo.
¿Cómo saco el perímetro de una elipse?
Con la aproximación de Ramanujan, que usa los mismos semiejes. Para a = 8 y b = 5 da 41.39 cm. No existe una fórmula exacta sencilla: el perímetro real requiere una integral elíptica, así que toda calculadora seria muestra una aproximación.
¿Qué es la excentricidad de una elipse?
El número que dice qué tan alargada está: e = √(1 − b²/a²). Vale 0 en el círculo y se acerca a 1 en elipses muy estiradas. Con a = 8 y b = 5, e = 0.78: claramente ovalada, lejos de ser un círculo.
Fuentes
- Ellipse — Wolfram MathWorld. Definición por focos, semiejes, excentricidad y perímetro por integral elíptica.
Revisado el 15 de octubre de 2026Así revisamos cada calculadora