Volumen de un Cono
El volumen de un cono es el área de su base por la altura, dividido entre tres: V = π × r² × h ÷ 3. Un cono con 3 cm de radio y 5 cm de alto tiene π × 9 × 5 ÷ 3 = 47.12 cm³: un tercio del cilindro de igual base y altura.
Contenido
Lo que puedes calcular
Hay cuatro formas de describir el cono:
- Con el radio y la altura. Los datos de casi todos los ejercicios.
- Con el diámetro y la altura. En objetos reales, el ancho completo se mide más fácil.
- Con el radio y la generatriz. La generatriz es el lado inclinado; la altura se deduce de ella.
- Como cono truncado. Un cono sin punta, con una base grande y otra pequeña.
Con el volumen aparecen los litros, la generatriz o la altura, la superficie del fondo, la lateral y la total, el valor con π = 3.14 y los m³. Copiar guarda el resultado con sus medidas, y Enlace copia una dirección que abre la calculadora con ese mismo cálculo.
Un tercio del cilindro
Un cono cabe tres veces en un cilindro de base y altura iguales a las suyas. El cilindro de 3 cm de radio y 5 cm de altura tiene π × 9 × 5 = 141.37 cm³, y el cono, la tercera parte: 47.12 cm³. La fórmula del cilindro está en el volumen de un cilindro.
La Secretaría de Educación Pública explica el cono justo así: su volumen es el área de la base por la altura entre tres, por su relación con el cilindro. La misma regla del tercio vale para la pirámide frente al prisma, como se ve en el volumen de una pirámide.
Fórmulas del cono
| Qué calculas | Fórmula |
|---|---|
| Volumen con el radio | π × r² × h ÷ 3 |
| Volumen con el diámetro | π × d² × h ÷ 12 |
| Generatriz | √(r² + h²) |
| Área de la base | π × r² |
| Área lateral | π × r × generatriz |
| Área total | π × r × (r + generatriz) |
| Cono truncado | π × h × (R² + R × r + r²) ÷ 3 |
El fondo del cono es un círculo: su superficie se obtiene como la de cualquier círculo. La generatriz sale del teorema de Pitágoras: el radio, la altura y la generatriz forman un triángulo rectángulo.
Ejemplo con el diámetro
La SEP resuelve este caso: un cono de 8 cm de diámetro y 10 cm de altura.
- Radio: 8 ÷ 2 = 4 cm.
- Área de la base: π × 4² = 16π = 50.265 cm².
- Volumen: 50.265 × 10 ÷ 3 = 167.55 cm³.
Si usas π = 3.14, el resultado es 167.47 cm³. La calculadora muestra los dos valores.
Área lateral y total del cono
Para forrar un cono o fabricarlo de cartón hace falta su superficie, no su volumen. Para un cono de 3 cm de radio y 4 cm de altura:
- Generatriz: √(3² + 4²) = 5 cm.
- Área lateral: π × 3 × 5 = 47.12 cm².
- Área de la base: π × 3² = 28.27 cm².
- Área total: π × 3 × (3 + 5) = 24π = 75.40 cm².
Su volumen es π × 9 × 4 ÷ 3 = 37.70 cm³.
Cono truncado
Cuando a un cono le cortan la punta con un corte paralelo a la base, queda un cono truncado o tronco de cono, con un radio mayor R abajo y uno menor r arriba. Su volumen es π × h × (R² + R × r + r²) ÷ 3.
Con R = 15 cm, r = 10 cm y 20 cm de altura: π × 20 × (225 + 150 + 100) ÷ 3 = 9,948.38 cm³, casi 10 litros.
Cómo cambia el volumen
La SEP usa los chupirules, un dulce mexicano en forma de cono, para mostrar cómo cambia el volumen cuando cambia una medida. Como el radio va al cuadrado, influye mucho más que la altura:
- Con el doble de altura, el volumen también se duplica.
- Con el doble de radio, el volumen crece cuatro veces.
- Con el triple de radio, crece nueve veces.
Fallos que alteran el volumen
Omitir la división entre tres. Así se obtiene el cilindro entero, no el cono.
Usar la generatriz como altura. Con radio 3 cm y generatriz 5 cm, la altura real es 4 cm y el volumen, 37.70 cm³; tomar el 5 como altura da 47.12 cm³.
Meter el diámetro donde va el radio. Como el radio se eleva al cuadrado, el error multiplica el volumen por cuatro.
Dar el resultado en cm². Un volumen siempre se expresa en unidades cúbicas, como cm³ o m³.
Preguntas frecuentes
¿Qué fórmula tiene el volumen del cono?
V = π × r² × h ÷ 3, es decir, el círculo de la base por la altura, entre tres. Para 5 cm de radio y 10 cm de alto: π × 25 × 10 ÷ 3 = 261.80 cm³. Con π = 3.14 salen 261.67 cm³.
¿Cómo sacar el volumen de un cono con el diámetro?
Saca el radio, que es la mitad del diámetro, o usa sin más V = π × d² × h ÷ 12. Con 6 cm de diámetro y 5 cm de altura: π × 36 × 5 ÷ 12 = 47.12 cm³.
¿Por qué el volumen del cono se divide entre 3?
Porque un cono ocupa exactamente la tercera parte del cilindro con su misma base y altura. Si llenas el cono de agua y lo vacías en ese cilindro, necesitas tres conos para llenarlo. Lo mismo pasa entre una pirámide y su prisma.
¿Cómo se calcula el área de un cono?
El área lateral es π × radio × generatriz, y el área total suma la base: π × r × (r + generatriz). Con radio 3 cm y generatriz 5 cm, el área lateral es 47.12 cm² y la total, 75.40 cm².
¿Cuántos litros caben en un cono?
Calcula el volumen en cm³ y divídelo entre 1,000. Un cono de 10 cm de radio y 20 cm de altura tiene π × 100 × 20 ÷ 3 = 2,094.40 cm³, unos 2.09 litros. Si las medidas están en metros, multiplica los m³ por 1,000.
¿Cómo calcular el volumen de un cono truncado?
Con V = π × h × (R² + R × r + r²) ÷ 3, donde R es el radio mayor, r el menor y h la altura. Con R = 5 cm, r = 3 cm y h = 4 cm: π × 4 × (25 + 15 + 9) ÷ 3 = 205.25 cm³.
Fuentes
- Volumen del cono — Secretaría de Educación Pública (SEP), Nueva Escuela Mexicana. Fórmula del volumen del cono, su relación con el cilindro y el ejemplo de 8 cm de diámetro y 10 cm de altura.
- Cone — Wolfram MathWorld. Volumen, generatriz y superficie lateral del cono circular recto.
- Conical Frustum — Wolfram MathWorld. Volumen del cono truncado.
Revisado el 14 de octubre de 2026Así revisamos cada calculadora